点线面之间的位置关系【点线面之间的位置关系知识点总结】

篇一：空间点线面之间位置关系知识点总结 高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （）多面体――由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体――把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线 称为旋转体的轴。 （）柱，锥，台，球的结构特征 .棱柱――有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体叫做棱柱。 .圆柱――以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. .棱锥――有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。.圆锥――以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 .棱台――用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. .圆台――用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. .球――以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 .投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 .三视图――正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 .直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 .斜二测法：在坐标系x&#;o&#;y&#;中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 S=πrl+πr③圆锥的表面积S??rl??r ④圆台的表面积S ??rl??r??Rl??R ⑤球的表面积S??R ⑥扇形的面积公式S扇形?n?R? lr（其中l表示弧长，r表示半径） 、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V?S?h ②锥体的体积 V? 底 S底?h ③台体的体积V? S上? S下)?h ④球体的体积 V? ?R 第二章 直线与平面的位置关系 .空间点、直线、平面之间的位置关系 D C .. 平面含义：平面是无限延展的 A B 平面的画法及表示 （）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成，且横边画成邻边的倍长（如图） （）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 三个公理： （）公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L B∈α A∈α L B∈α公理作用：判断直线是否在平面内 （）公理：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， ? C ? ? 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理作用：确定一个平面的依据。 （）公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理作用：判定两个平面是否相交的依据 .. 空间中直线与直线之间的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系： 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 a∥b c∥b =>a∥c 强调：公理实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 注意点： ① a&#;与b&#;所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈?③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作， )； a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 .. ― .. 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 、直线与平面有三种位置关系： （）直线在平面内 ―― 有无数个公共点 （）直线与平面相交 ―― 有且只有一个公共点 （）直线在平面平行 ―― 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 .直线、平面垂直的判定及其性质 ..直线与平面垂直的判定 、定义 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 α aα a∩α=Aa∥α ..直线、平面平行的判定及其性质 .. 直线与平面平行的判定 、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线平行，则线面平行。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； 符号表示： a α b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 b β∥α ..平面与平面垂直的判定 a∥b 、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 .. 平面与平面平行的判定 、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 A 梭β 符号表示： aβ bβ αlβ或αABβ a∩β∥α 、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 a∥α b∥α .. ― ..直线与平面、平面与平面垂直的性质 、判断两平面平行的方法有三种： 、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 （）用定义； 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 （）判定定理； （）垂直于同一条直线的两个平面平行。 .. ― ..直线与平面、平面与平面平行的性质 本章知识结构框图 、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a∥α aβ∥b α∩β作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ∥b β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 一、公式： .若直线的倾斜角为?(???)，则直线的斜率k=tan?。 .过点P(x,y)和P(x,y)的直线的斜率为： y?y x ?x .若不平行于y轴的两直线l//l，则kk；若两直线l?l，则k?k； .直线的点斜式方程：y?y?k(x?x) .直线的斜截式方程：y?kx?b .直线的两点式方程：y?yx?x y?y? x?x .直线的截距式方程：xa?y b ? .直线的一般式方程：Ax?By?C?，此时，斜率为?AB，截距为?C B . .对于两直线lAx?By?C?和lAx?By?C? （）若AB?AB?，两直线相交； （）若AB?AB?，两直线平行或重合； （）若AA?BB?，若两直线垂直。 .点(xxy?y,y)和(x,y)的中点坐标是 （x? ) .若P和P(x,y)(x,y)，则：PP ?.点(x)到直线Ax?By?C?,y二、基本注意点： .过点(a,b)，且平行于x轴的直线方程是：y?b； .过点(a,b)，且平行于y轴的直线方程是：x?a； 三、典型习题： 解：①截距不为时，设两轴上的截距都为a,则有直线方程为：xy a?a ?， 将(,)带入上式可得：a?，所以直线方程为：xy ? ?， 即：x?y??； ②两轴上的截距都为时，则直线过原点(,)，由两点式可得： y?x??? ? ，即：x?y? 综上所述：满足条件的直线方程为：x?y??或x?y?. （注：做本题时要分截距为和截距不为两种情况，切不可直接将方程设为 xa?y b ?，因为用该方程时，要求截距不为。） .已知直线lx?my??，l(m?)x?y?m?，求满足下列条件的m值：（）l和l相交；（）l?l；（）l//l；（）l和l重合； 解：（）l和l相交，?AB?AB?， 即：??(m?)?m?解得 m??且m? （）l?l，AA?BB?， 即：?(m?)??m? 解得：m? （）（）AB?AB?, 即：??(m?)?m?解得 m??或m? 检验：m??时，lx?y??,l?x?y??,此时，两直线平行，所以， m?时，lx?y??,lx?y??,此时，两直线重合 综上所示：m??时两直线平行；m?时两直线重合. 圆与方程 、圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)?(y?b)?r. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x ?y ?r . 、点与圆的位置关系： . 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： ()点在圆上 d=r； ()点在圆外 d＞r； ()点在圆内 d＜r． .给定点M(x,y)及圆C(x?a)?(y?b)?r. ①M在圆C内?(x?a)?(y?b)?r ②M在圆C上?（x?a)?(y?b)?r ③M在圆C外?(x?a)?(y?b)?r 、 圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F? . 当D ?E ?F?时，方程表示一个圆，其中圆心C???D,?E? D?E?F ? ??，半径r? . 当D?E?F?时，方程表示一个点??? D? ,?E? ??. 当D?E?F?时，方程无图形（称虚圆）. 注：（）方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?表示圆的充要条件是：B?且A?C?且D?E?AF?. 圆的直径或方程：已知A(x,y)B(x,y)?(x?x)(x?x)?(y?y)(y?y)? 、 直线与圆的位置关系： 直线Ax?By?C?与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种 （）若d? Aa?Bb?C，d?r?相离???； A ?B （）d?r?相切???；日全食作文 （）d?r?相交???。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组? ?Ax?By?C? ?x ?y ?Dx?Ey?F? 求解，通过解的个数来判断： （）当方程组有个公共解时（直线与圆有个交点），直线与圆相交； （）当方程组有且只有个公共解时（直线与圆只有个交点），直线与圆相切； （）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离； 即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的相切?d=r?Δ＝（）相交?d<r?Δ>； （）相离?d>r?Δ<。 、 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，OO?d。 （）d?r?r?外离?条公切线；（）d?r?r?外切?条公切线； （）r?r?d?r?r?相交?条公切线；（）d?r?r?内切?条公切线； （）?d?r?r?内含?无公切线；外离 外切相交内切内含 、 圆的切线方程：圆x?y?r的斜率为k的切线方程是y?kx??kr过圆x?y?Dx?Ey?F?上一点P(x,y)的切线方程为：xx?感恩老师作文1000字yy?D x?x?Ey?y ?F?. 一般方程若点(x ,y)在圆上，则(x ?C a)(x ?C a)+(y ?C b)(y ?C b)=R. 特别地，过圆x?y?r上一点P(x,y)的切线方程为xx?yy?r. ?y若点(x? ?y?k(x?x) ,y)不在圆上，圆心为(a,b)则?b?y?k(a?x)，联立求出k?切线方程. ? R?? R?篇二：点线面之间的位置关系的知识点总结 高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 .空间点、直线、平面之间的位置关系 .. 平面含义：平面是无限延展的 平面的画法及表示 （）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成，且横边画成邻边的倍长（如图） （）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 三个公理： （）公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L B∈α A∈α B∈α 公理作用：判断直线是否在平面内 （）公理：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理作用：确定一个平面的依据。 （）公理符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理作用：判定两个平面是否相交的依据 D A B C L ? C ? ? A B .. 空间中直线与直线之间的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系： 共面直线 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 a∥b。 公理 c∥b 强调：公理实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理作用：判断空间两条直线平行的依据。 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 注意点： ① a&#;与b&#;所成的角的大小只由a、b的相互位置来关于读书的作文400字确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(， )； =>a∥c ? ③ a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 .. ― .. 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 、直线与平面有三种位置关系： （）直线在平面内 ―― 有无数个公共点 （）直线与平面相交 ―― 有且只有一个公共点 （）直线在平面平行 ―― 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 aα a∩α=Aa∥α ..直线、平面平行的判定及其性质 .. 直线与平面平行的判定 、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β α a∥b .. 平面与平面平行的判定 、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b = Pα a∥α b∥α 、判断两平面平行的方法有三种： （）用定义； （）判定定理； （）垂直于同一条直线的两个平面平行。 .. ― ..直线与平面、平面与平面平行的性质 、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a∥α aβb α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： α∥β α∩γ= a ab β∩γ= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 .直线、平面垂直的判定及其性质 ..直线与平面垂直的判定、定义 如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 Lp α 、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 ..平面与平面垂直的判定 、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 B αlβ或αABβ 、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 .. ― ..直线与平面、平面与平面垂直的性质 、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围. [例]在正方体ABCDABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( ). A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN. C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .与AC、MN都不垂直.错解B. 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影. 正解：A.[例]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，分别是BC,CD上的点,且GC BG G,H交于 ? DH HC ?,求证直线EG,FH,AC相 一点. 错解：证明：?E、F分别是AB,AD的中点, ?EF∥BD,EF=BD, BGGC 又 ? DHHC ?,? GH∥BD,GH=BD, ? ? 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, HC ?,F分别是AD.?AC与FH交于一点. ?直线EG,FH,AC相交于一点 正解：证明：?E、F分别是AB,AD的中点, ?EF ∥BD,EF=BD, 又GC BG ? DHHC ?, ? GH∥BD,GH=BD, ?四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, ?EG?平面ABC,FH?平面ACD, ?T?面ABC,且T?面ACD,又平面ABC?平面ACD=AC, ?T?AC,?直线EG,FH,AC相交于一点T. [例] 在立方体ABCD－ABCD中， 出平面AC的斜线BD在平面AC内的射影； 线BD和直线AC的位置关系如何？ 线BD和直线AC所成的角是多少度？ 解：()连结BD, 交AC于点O （）找 （）直 （）直 ?DD?平面AC,?BD就是斜线BD在平面AC上的射影. ()BD和AC是异面直线. ()过O作BD的平行线交DD于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD所成的角. 不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝°， ∴异面直线BD与AC所成的角为° .[例] a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ).A．有且只有一个 B．一个面或无数个C．可能不存在D．可能有无数个 错解：A. 错因：过a与b垂直的平面条件不清. 正解：C. [例] 在正方体ABCD－ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点．求证：EF垂直平面BBO． 证明 ： 如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点． ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC． ∵BB⊥平面ABCD,AC?平面ABCD ∴AC⊥BB，由正方形ABCD知：AC⊥BO， 又BO与BB是平面BBO上的两条相交直线， ∴AC⊥平面BBO(线面垂直判定定理) ∵AC∥EF， ∴ EF⊥平面BBO． [例]如图，在正方体ABCDABCD 中，E 是BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE? 平面ACD ． 分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE? 平面ACD ，只要在平面ACD 内找两条相交直线与OE 垂直． 证明：连结BD 、A!D 、BD ，在△BBD 中，∵E,O 分别是BB 和DB 的中点，∴EO∥BD ．∵BA? 面AADD ， ∴DA 为DB 在面AADD 内的射影．又∵AD?AD ，篇三：点线面之间的位置关系定理 一、四个公理：；两点在平面内，直线在平面内；两点决定一条直线 ：两平面有交点，必有交线，所有交点（公共点）在交线上 ：不共线三点决定一个平面：a直线和线外一点b两条相交直线c两条平行直线 决定一个平面：两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 二、异面直线的定义：不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线 除定义外，还可以用下列定理：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。 三、异面直线所成角的范围：＜≤度；过空间任一点o，做a∥a，b∥b ，把a、b所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角 若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直。 通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线，在同一三角形中，求异面直线所成的角，可以选择两条异面直线上一点做另一条异面直线的平行线。所求的角为钝角时，两条异面直线所成的角应为其补角。 直线和平面所成的角范围≤≤度，平行于平面或在平面内为度，垂直于平面为度 斜线和平面所成的角范围＜＜度 四、空间两条直线的位置关系共有三种：相交直线、平行直线、异面直线，前两种情况两条直线在同一平面内，后 种情况两条直线不在同一平面内。 五、直线和平面的位置关系 直线和平面相交、直线和平面平行统称为直线在平面外。 直线与平面的平行 、直线和平面平行的判定定理：直线∥面内线 直线∥面；要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线和平面外的那条直线平行即可。 、直线和平面平行的性质定理：直线∥平面直线∥交线；线面平行，直线不平行于此平面内的任一条直线。 直线与平面的垂直 、直线和平面垂直的判定定理；直线⊥交线直线⊥平面 、直线和平面垂直的性质定理：两直线⊥同一平面直线∥直线 ：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。 平面和平面的平行 、平面和平面平行的判定定理：交线∥平面平面∥平面 、平面和平面平行的性质定理： ①平面∥平面交线∥交线，两个平面平行，他们和第三个平面的两条交线相互平行 ②两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面，即：平面∥平面线∥平面 ③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 ，那么它也垂直于另一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行 ⑤两个平面同时和第三个平面平行，这两个平面平行 平面和平面的垂直 、平面和平面垂直的判定定理：面内线⊥面面⊥面 、平面和平面垂直的性质定理；面⊥面面内直线a⊥交线，那么，此面内线a⊥另一个面 ①平面垂直于另一个平面，过平面内一点A做另一个平面的垂线，此垂线在平面内 ②二面角的大小≤≤度 以上所有定理和公理可概括为： 一、判定定理判定定理 线线垂直线面垂直 面面垂直 判定定理判定定理 不怕不精，只怕不勤； 不怕无成，只怕无恒。二、线线平行线面平行 面面平行 性质定理性质定理 性质定理 不怕不精，只怕不勤；不怕无成，只怕无恒。

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