高一新生刚接触角的弧度制，往往只是将其理解为简单的角的单位，没有关注它的来历和意义，今天我们就来简单聊聊…… 要理解弧度制的意义要从三角函数说起。很多人会说，那还不简单，我初中时就学三角函数了。不过，初中时的三角函数主要是从几何角度定义的，没有代数上的函数意义（因为确切的函数概念也是高中才引入）。弧度制的定义其实还关乎数学的底层逻辑。不过，我们先看看高中数学书上是怎么引入弧度制的： 这里的引入确实简单，没有过多的理由，原因仅仅是“为了使用的方便”，这一略显突兀的解释却也道出了弧度制的核心优点，它确实使整个数学世界都变得“方便”。 我们先回忆一下角度制，角度制是将圆周分为等份，每一份叫一度。由于地球的公转，地球上的我们就像看走马灯一样，在特定的时间看到特定的星座。古人发现了这个规律，并且以星座为参照物，近似观察出循环周期为天，也就是一年。因此，天就被等分成了份，也就是圆被等分成了份，以此创立了角度制衡量角的大小，说的确切一点角度制是从圆周运动的观察者角度出发来定义的。这种角度的衡量标准，在三角函数出现之前是没用必要调整和改变的，弧度制的设置可以说是为三角函数做准备。 而弧度制则是从圆周运动进行者的角度来定义的。古人的世界观是天圆地方，人们的旅行都被视为直线运动。欧式几何里面的直线笔直的延伸到无穷远处。可是，事实是，地球是圆的，随着技术的发展，大航海时代的来临，大家越来越认识到这一点。传统意义上的直线，在地球表面都不复存在，必须重新定义球面距离的含义。弧度制也是在这样的背景下开始萌发。 用单位圆上点的圆周运动引出了弧度。用单位圆上点随半径旋转运动的弧长大小（不包括单位）定义此时圆心角的大小，将这种角衡量标准叫做弧度制。 从弧度的定义可以看出，弧度是一个没有量纲的量（如实数一样） ，因为弧长比半径，长度单位被约掉了（有种相对原子质量的感觉），这里注意rad只是弧度的符号，并不是量纲意义上的单位。 在这种弧度的定义下就将角与实数建立了联系（用数表示角），数和角本是两个独立的概念（一个是几何概念，一个是代数概念）我们用数来衡量角，给角一个标度，就是将角度实数化。弧度就是实数化的角度量化标准。为什么要这样呢，这也是为了三角函数。以正弦为例，正弦的定义是直角三角形中对边与斜边的比值（这是原始定义） 从正弦定义出发我们构建正弦函数y=sinx，正弦函数是以角度为定义域以正弦值为函数值的函数。要知道函数是两个数集之间的一种对应，y=sinx中函数值y是实数，需要将定义域x也扩展为实数，角度制显然不满足这种要求。为将正弦函数的定义域扩展到整个实数，这就修改了正弦的定义（见高中数学任意角的三角函数）： 所以正弦这个本来几何上定义的概念就有了代数意义，正是弧度制使得几何与代数的整合成为可能（弧度制也可以说是在这种几何与代数的整合背景下创立） 弧度制简单来说就是把°对应到π，然后三角函数里面的操作就可以都是实数了,以前的sin(°),cos(°)就变成sin(π/),cos(π/)......"三角函数"也成了真正的函数(角数对应→数数对应），比如正弦函数的图象画出来，横坐标和纵坐标的单位都应该是数（确切的说是实数，使得三角函数的定义域有了数的意义） 那为啥把°对应到π这个无理数,为啥不找个好点的数来对应呢?说直白点就是为什么用弧长和半径的比值来定义。要将角度实数化（角与实数构建对应），方法应该很多，比如这里有个很好的设计把周角对应到,然后平角就是/,直角就是/......占几分之几就对应到几分之几,若要取个名字，不如就叫——转角制，这感觉很和谐啊,这方案可行吗?要知道角度是客观存在的,比如周角,平角,直角...具体数值则是一个度量标准,是可以人为设定的。所谓的度量标准,其实就是把角度映射到一个数字的规定。不但角度里有度量标准,其他领域也有很多,举个长度方面的例子吧,比如面对一把米大刀时"刀的长度"是客观固定的,然而映射到什么数字,不同的度量标准下就不同,以米为单位,则映射到，以英尺为单位,则映射到...,以丈为单位,则映射到...很好理解吧?现在我们看下角度的各个度量标准角度制把周角映射到意义方便计算(除以,,,,都是整数),而且常见的角度在以内,也方便理解弧度制把周角映射到π,意义角度对应的单位圆的圆弧长度转角制把周角映射到,意义"部分/整体"的比值突然觉得"转角制"才是这几个中定义得最自然最完美的,然而数学家为啥不用呢?偏偏把角度映射到π这种无穷无尽的无理数上,这就要牵扯到数学的底层逻辑模块——重要极限 我们先来看看这个极限式的几何意义：这与弧度制的选取有什么关系？下面做点简单论述也就是说"重要极限 sinx/x"的取值被改变了!你也许会说,我不在乎,在我眼里,只是区区一极限,变就变,有啥大不了的?但是,重要极限之所以叫做"重要极限",是有原因的如果重要极限的值被改变了,那么三角函数的求导公式也得变了没有对比就没有伤害更糟糕的是,还影响其他模块!所有依赖三角函数的公式都会变得复杂了比如高阶导数公式,积分,泰勒展开.......原来使用弧度制的意义是这个制度下,公式是相对最简单的而且三角函数的代数定义是在单位圆中完成的：所以三角函数又叫圆函数，三角函数注定要和圆周率有关系（π你是扔不掉的），如果不在角的量化定义中引入π，则数学的很多公式都会变得复杂，这是精心选择的结果！ 现在你明白为什么说弧度制使整个数学世界都变得“方便”了吧。
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